みんな大好き力学的エネルギー保存の法則の証明です。
まずは左側の図をご覧ください。質量m[kg]のボールをhA[m]からhB[m]まで落とします。m[kg]から重力はmg[N]となり、仕事はF[N]×X[m]なのでmg(hA-hB)[J]となります。
また、hAでの運動エネルギーvA[m/s]は1/2mv２の式より1/2mvA２となります。同様にhBでは1/2mvB２となります。
仕事はエネルギー変化量と同値なので 1/2mvB２-1/2mvA２= mg(hA-hB)なります。これを式変形すると 1/2mvB２-1/2mvA２= mghA-mghB → 1/2mvB２- mghA=1/2mvA２-mghB となります。